MEAN-FIELD APPROXIMATION FOR THE ANYON GAS
Approximation de champ moyen pour un gaz d'anyons
Résumé
This thesis is dedicated to the study of an anyon gas. We derive ground states
effective models in the large number of particle limit.
In two-dimensional space there are possibilities for quantum statistics continuously
interpolating between the bosonic and the fermionic one. Quasi-particles obeying such
intermediate statistics are called anyons. They can be described as ordinary bosons and
fermions with interactions through long-range magnetic potentials, generated by magnetic
charges carried by each particle. We study the almost-bosonic and almost-fermionic limit.
Anyons are seen as usual bosons or fermions interacting through a magnetic potential
whose strength converges to zero in the limit of large particle number. We obtain rigorous
results for the convergence of their ground state energies and the associated minimizers to
those of effective models.
The ground state of almost-bosonic anyons converges to the infimum of a Hartree-
like functionnal and its minimizers to a convex superposition of factorized pure states.
The particles behave like independent, identically distributed bosons interacting via a self-
consistent magnetic field. The proof is based on an information theoretic version of the
quantum de Finetti theorem due to Brandão and Harrow combined with a Fock-space
localisation technique.
The ground state energy of almost-fermionic anyons converges to the infimum of a
Thomas-Fermi energy and its minimizers to measures associated with the corresponding
semi-classical problem. More precisely, the ground state of our Hamiltonian converges to
that of a classical modified Vlasov energy whose minimization leads to the Thomas-Fermi
functional. The Vlasov energy is endowed with a self-consistent magnetic field, a landmark
of anyonic statistics. The ground state of the Vlasov energy displays anyonic behavior in
its momentum distribution. The proof is based on coherent states, Husimi functions, the
Diaconis-Freedman theorem and a quantitative version of a semi-classical Pauli pinciple.
Ce manuscrit est dédié à l’étude des gaz d’anyons. Il s’agit de dérivations
rigoureuses d’énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e
quand le nombre de particule tend vers l’infini.
Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n’est pas
limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n’importe
quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions
(paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont décrites comme d’authentiques
fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par
des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d’autres termes,
nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons
donc affaire à un problème à N -corps où toutes les particules interagissent entre elles.
Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un
champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et
quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons
puis des fermions.
Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas
bosonique. Nous le prenons égal à 1/N . Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend
vers l’infini. Notre méthode permet d’obtenir la convergence de l’énergie fondamentale
de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de
Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit
pas décroı̂tre trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le
manuscrit. L’outil principal dans l’obtention du modèle effectif est la version du théorème
de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l’espace de Fock.
Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons
donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante
de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N 1/2 pour nous trouver dans une limite
semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces
résultats est aussi tributaire d’une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons
les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman
pour obtenir l’énergie effective. Le point central de la preuve est l’obtention d’un principe
de Pauli quantitatif semi-classique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)